4. Trazado de una curva dada su ecuación polar - 5. Ecuaciones Resueltas

Trazado de una curva dada su ecuación polar

Curva en coordenadas polares: Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r(θ) con θ∈I (I un intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el ángulo polar de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es el conjunto {(r(θ), θ) : θ∈I} con (r(θ), θ) coordenadas polares de puntos del plano.

Esbozo de una curva en coordenadas polares: Para realizar un trazado elemental de una curva en polares r = r(θ) pueden seguirse las siguientes indicaciones.

§  Determinar el periodo de la función, si lo tuviese.

§  Encontrar los intervalos de existencia, su dominio. Debe tenerse en cuenta que, para interpretarse las variables como coordenadas polares, el radio r debe ser siempre no negativo.

§  Realizar un estudio de las posibles simetrías.

§  Hallar algunas rectas tangentes notables, por ejemplo las horizontales y las verticales.

§  Realizar una tabla de valores para aquellos ángulos significativos.

§  Estudio del comportamiento de r frente a θ.

Definiciones 

1. Intersecciones:

 Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuación dada para r, cuando a θ se le asignan sucesivamente los valores 0, ± π , ±2π y en general, el valor n π, en donde n es un entero cualquiera. Análogamente, si existen algunas intersecciones con el eje a 90 grados , pueden obtenerse asignando a θ  los valores π 2n, en donde n es un número impar cualquiera. Si existe un valor de θ para el cual sea r=0, la gráfica pasa por el polo. 2)

2. Simetría:

 Si la curva es simétrica con respecto al eje polar, entonces para cada punto P existe un punto P`, también de la curva, tal que el segmento PP` es bisecado (cortar en dos partes simétricas) perpendicularmente por el eje polar, como se ve en la figura.

Si M es el punto medio del segmento PP` de los triángulos rectángulos OPM y OP`M se deduce que las coordenadas de P` son (r,- θ ) y (-r,π - θ ). Tenemos, pues dos pruebas para simetría con respecto al eje polar, a saber, que la ecuación polar dada no varíe al reemplazar θ por - θ , o al reemplazar θ por π - θ y r por –r.

Debemos sin embargo, hacer una importante adición a este enunciado. Así, una circunferencia con centro en el polo y radio igual a a.

Tiene por ecuación polar r =a. Esta ecuación no satisface la segunda prueba aunque su lugar geométrico es, evidentemente, simétrico con respecto al eje polar. Pero la segunda prueba cambia a la ecuación dada en r = -a, que, como hemos anotado antes, es una ecuación equivalente. Por tanto, diremos que la simetría con respecto al eje polar existe también si las sustituciones indicadas cambian a la ecuación dada en una ecuación equivalente.

3) Extensión del lugar geométrico: 

Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, primero se despeja r en función de θ, de modo que tenemos r=f(θ) Si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si, en cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de θ la gráfica no puede ser una curva cerrada. Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva; tales valores de θ constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica es una curva cerrada, es útil, frecuentemente, determinar los valores máximo y mínimo de r.

4) Cálculo de las coordenadas de algunos puntos:

Asignando un valor particular a θ, podemos obtener el valor o valores reales correspondientes de r, cuando existen, de la ecuación r=f(θ) . Para la mayoría de nuestros fines, será suficiente tomar valores de θ a intervalos de 30 grados.

5) Construcción de la gráfica:

Los puntos de lugar geométrico pueden trazarse directamente a partir de los valores de las coordenadas obtenidas en el paso anterior. Una curva continua que pase por los puntos localizados será, por lo general, la gráfica buscada. Es importante ver si la gráfica concuerda con los resultados obtenidos en los pasos 1, 2 y 3.

6) Transformación de la ecuación polar a su forma rectangular:

Esta transformación puede efectuarse siguiendo pasos anteriores. La forma rectangular se puede usar para comprobar la gráfica.

EJEMPLO 1. Trazar la curva cuya ecuación polar es r= 8 cos θ 

SOLUCION 

Se hacen las operaciones  para cada valor de θ según la ecuación.
Para obtener las correspondientes a r, obteniéndose la siguiente tabla de tabulación

imagen recopilada de https://expediente.ues.edu.sv

EJEMPLO  2.  

Trazar la curva llamada cardiode, cuya ecuación polar es: r = a (1+cos θ)

 SOLUCIÓN  

Para la efectuar las operaciones haremos a = 4.
Procediendo en forma ordenada, asignando los valores al ángulo θ, partiendo de 0 grados y 
aumentando de 30 grados en 30 grados. Efectuando las operaciones indicadas por la 
ecuación dada para cada uno de los valores del ángulo. De esta manera se tiene la siguiente 
tabla de tabulación

EJEMPLO 3. Un segmento de longitud constante a se desplaza con sus extremos sobre los lados 

de un ángulo recto. Del vértice de este ángulo se traza la perpendicular del segmento dado. Encontrar el lugar geométrico de las bases de estas perpendiculares.

SOLUCION:

Según el enunciado tenemos la figura adjunta:
 La ecuación del lugar geométrico dado puede establecerse fácilmente en un sistema de coordenadas polares como se puede ver en la figura adjunta 1                          .

 Sea la longitud AB = 2 a y M en un punto cualquiera del lugar geométrico.
 Del triangulo 0MA se tiene:
r =  0A cos θ

Figura 1 

Del triangulo 0AB se tiene:

0A= AB sen a θ = 2 a sen θ
Por lo tanto, sustituyendo en (1):
 r = 2 a sen θ  cos θ
Luego:
 
r =a sen 2θ
Estudiando la dependencia de r con respecto a θ puede afirmarse que la curva buscada tiene la forma que se muestra en la figura adjunta.

Video explicativo sobre resolución de una ecuación polar con curva

https://youtu.be/iOSqBTNgPSY

Bibliografía:

• revistas.pucp.edu.pe/index.php/enblancoynegro/article/download/2191/2122
• https://rodas5.us.es/items/390310c2-d0ea-4e69-b419-87c3437bc332/1/viewscorm.jsp
• https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
• https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-polares