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4. Trazado de una curva dada su ecuación polar - 5. Ecuaciones Resueltas

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Trazado de una curva dada su ecuación polar Curva en coordenadas polares: Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r(θ) con θ ∈ I (I un intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el á ngulo polar de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es el conjunto {(r(θ), θ) : θ ∈ I} con (r( θ ), θ ) coordenadas polares de puntos del plano. Esbozo de una curva en coordenadas polares: Para realizar un trazado elemental de una curva en polares r = r(θ) pueden seguirse las siguientes indicaciones. §   Determinar el periodo de la función, si lo tuviese. §   Encontrar los intervalos de existencia, su dominio. Debe tenerse en cuenta que, para interpretarse las variables como coordenadas polares, el radio r debe ser siempre no negativo. §   Realizar un estudio de las posibles simetrías. §   Hallar algunas rectas tangentes nota...
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3. Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa. 3.1 Ejercicios.

CAMBIO DE SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES VICEVERSA . Para la solución de ciertos problemas es necesario saber como pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por ello deduciremos las relaciones necesarias.  De la figura anterior, se tiene el triángulo rectángulo 0PD y de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas, obtenemos:   Senφ=y/r; Y=r Sen φ.......................................(1) Cos φ=y/r ; x=cosφ..............................(2) Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o de una ecuación cartesiana en polar y viceversa.  Ahora, de acuerdo al teorema de Pitágoras según la misma figura nos queda:  r2 = x2 +y2 ;   r= a la raiz de x2+y2.................................(3) Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plan...
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2.Coordenadas polares geralizadas.   En la situación de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una recta que pasa por el polo , dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relación al punto 0. Como se observa en la figura siguiente:  En este caso se toma por ángulo polar de los puntos M y N el mismo ángulo , y r, para el punto M, se considerara positivo y para el punto N será negativo.  Las coordenadas θ y r < 0 se llaman coordenadas polares generalizadas del punto N .   EJEMPLO : Determinar las coordenadas polares de los puntos que se indican en la figura adjunta:  SOLUCIÓN : Como el radio vector r es positivo cuando se mide sobre el lado terminal del ángulo y negativo cuando se mide sobre la prolongación de este, tendremos que:  De acuerdo a la figura , para los puntos M , N , P y Q pueden tomarse como coordenadas polares.   2.1Relación entre coorden...
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